jueves, 19 de mayo de 2016

Diédrico. Solución de un problema sencillo con y sin línea de tierra.

El problema que se plantea es un ejercicio básico: hallar el punto de intersección I, entre un plano α dado y una recta vertical R dada.

A) Resolución con línea de tierra.
Si resolvemos el problema en diédrico dibujando la línea de tierra, quiere decir que hemos fijado en el espacio el diedro de proyección, y con él, los planos de proyección. Fijados estos planos, podemos considerar las trazas vertical α1 y horizontal α2 del plano α dado. Estas trazas son las intersecciones del plano α con los planos vertical y horizontal de proyección respectivamente.
Por otro lado, tenemos también las proyecciones horizontal r1 y vertical r2 de la recta vertical R.


Para encontrar el punto I de intersección entre el plano α y la recta R, nos ayudamos de una recta T, horizontal de plano, que pasa por el punto I. La horizontal de plano es una recta contenida en el plano α  paralela al plano horizontal de proyección, por ello tiene:
  • la proyección vertical t2 paralela a la traza horizontal α2 del plano α 
  • y la proyección horizontal t1 paralela a la línea de tierra, 
como se ve en la figura:

Como el punto I pertenece a la recta R y a la recta T, su proyección I1 se encontrará en la intersección de la proyección r1 con la proyección t1, e I2 en la intersección de r2 con t2. Como r2 es un punto, I2 se encontrará en ese punto.
El problema en diédrico se plantea como sigue:



Para hallar el punto de intersección I, nos ayudamos de la recta horizontal de plano T tal y como comentábamos más arriba (haz clic en el boton play/pause para ver el proceso de resolución):



B) Si ahora consideramos que no hay línea de tierra ¿qué cambia?

Cambia la manera en la que definimos el plano α. Ahora no vamos a dibujar sus trazas α1 y α2, que vienen definidas por la intersección del plano α con los planos de proyección. Esta forma de representación depende de dónde coloquemos la línea de tierra y los planos de proyección. Sino fijamos estos elementos, necesitamos utilizar una manera más general de representar un plano.

¿Cómo se define un plano? 
Un plano viene definido por:
  • tres puntos no alineados,
  • una recta y un punto exterior a ella, 
  • dos rectas que se cortan, o 
  • 2 rectas paralelas.
Vamos a considerar aquí, que el plano viene definido por 3 puntos no alineados, A, B y C, de los que tendremos sus trazas horizontales A1, B1 y C1, y sus trazas verticales A2, B2 y C2. Por otro lado, la recta vertical R, vendrá definida por sus mismas proyecciones horizontal r1 y vertical r2.





Para encontrar las proyecciones del punto I, ya no nos ayudamos de una horizontal de plano que pasa por I, como hacíamos en la resolución con línea de tierra. Ahora,  nos ayudamos de una recta t paralela a uno de los lados del triángulo ABC, que pasa por I. En nuestro caso, consideraremos t paralela al lado AB. Las proyecciones de esta recta t son paralelas a las proyecciones de la recta AB y se obtienen fácilmente a partir de los puntos de intersección T1 y T2 de la recta t con los lados CB y CA del triángulo.





Como el punto I pertenece a t y a R, sus proyecciones I1 y I2 se encontrarán allí donde se corten las proyecciones de estas dos rectas: t1 con r1 y t2 con r2 respectivamente.
En diédrico, el proceso queda como sigue (hacer clic en el botón de play/pause para ver dinámicamente la construcción):